区間推定の構造について説明し、区間推定の種類を一覧表に整理する。
目次
- 目次
- 区間推定の構造
- 1つの母集団から標本抽出した場合の区間推定
- 母平均の区間推定
- 母分散の区間推定
- 母相関係数の区間推定
- 2つの母集団からそれぞれ標本抽出した場合の区間推定
- 母平均の差の区間推定
- 母分散の比の区間推定
- まとめ
- 参考文献
- 参考記事
区間推定の構造
母集団から複数の標本を抽出したときの標本分布を考える。標本分布を考えた時に $1 - \alpha$ の面積を与える幅を元に、区間で母数を推定する。
以降では、よく登場する区間推定を表で記載する。大きくは1つの母集団から標本抽出する場合と2つの母集団から標本抽出する場合に分けられる。
1つの母集団から標本抽出した場合の区間推定
パターン | 母集団分布 | 母数 | 標本分布 |
---|---|---|---|
1 | 正規分布 | 母平均 | 正規分布・t分布 |
2 | 正規分布 | 母分散 | カイ二乗分布 |
3 | 二項分布 | 母成功率 | 正規分布 |
4 | ポアソン分布 | 母平均 | 正規分布 |
5 | 二次元正規分布 | 母相関係数 | フィッシャーのz変換後、正規分布 |
母平均の区間推定
パターン | 母集団分布 | 分散 | サンプル数 | 標準化した推定量とその標本分布 |
---|---|---|---|---|
1 | 正規分布 | 既知 | 大きい | $Z=\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$ |
2 | 正規分布 | 既知 | 小さい | $Z=\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$ |
3 | 正規分布 | 未知 | 大きい | $Z=\frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}} \approx N(0, 1)$ |
4 | 正規分布 | 未知 | 小さい | $\frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$ |
5 | 非正規分布 | 既知 | 大きい | $Z=\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \approx N(0, 1)$ |
6 | 非正規分布 | 既知 | 小さい | 推定不可 |
7 | 非正規分布 | 未知 | 大きい | $Z=\frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}} \approx N(0, 1)$ |
8 | 非正規分布 | 未知 | 小さい | 推定不可 |
この表は、統計学入門, 蓑谷千凰彦, 東京図書から引用した。
二項分布、ポアソン分布はパターン5として考える。
母分散の区間推定
パターン | 母集団分布 | 標準化した推定量とその標本分布 |
---|---|---|
1 | 正規分布 | $(n-1)s^{2}/\sigma^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$ |
2 | 非正規分布 | 推定不可(?) |
母相関係数の区間推定
パターン | 母集団分布 | サンプル数 | 標準化した推定量とその標本分布 |
---|---|---|---|
1 | 2次元正規分布 | 大きい | $\sqrt{n-3} (z - \eta) \approx N(0,1)$ $z = \frac{1}{2}\log{\frac{1+r}{1-r}}$ $\eta = \frac{1}{2}\log{\frac{1+\rho}{1-\rho}}$ |
母相関係数の区間推定におけるパターン1の近似法は、フィッシャーのz変換と呼ばれる。
2つの母集団からそれぞれ標本抽出した場合の区間推定
パターン | 母集団分布1 | 母集団分布2 | 母数 | 標本分布 |
---|---|---|---|---|
1 | 正規分布 | 正規分布 | 母平均の差 | t分布 |
2 | 正規分布 | 正規分布 | 母分散の比 | F分布 |
母平均の差の区間推定
パターン | 母集団分布1 | 母集団分布2 | 母分散 | 標準化した推定量とその標本分布 |
---|---|---|---|---|
1 | 正規分布 | 正規分布 | 既知 | $\frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_{1} - \mu_{2})}{\sqrt{(\sigma_{1}^{2}/m) + (\sigma_{2}^{2}/n)}} \sim N(0,1)$ |
2 | 正規分布 | 正規分布 | 未知(母分散が等しい) | $\frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_{1} - \mu_{2})}{s\sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}} \sim t(m+n-2)$ |
3 | 正規分布 | 正規分布 | 未知(母分散が等しくない) | $\frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_{1} - \mu_{2})}{\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{m} + \frac{s_{2}^{2}}{n}}} \approx t(\nu^{*})$ $\nu^{*}$ は $\nu$ に最も近い整数。 $\nu = \frac{\left( \frac{s_{1}^{2}}{m} + \frac{s_{2}^{2}}{n} \right)^{2}}{\frac{(s_{1}^{2}/m)^{2}}{m-1} + \frac{(s_{2}^{2}/n)^{2}}{n-1}}$ |
母平均の差の区間推定におけるパターン3の近似法は、ウェルチの近似法と呼ばれる。
母分散の比の区間推定
パターン | 母集団分布1 | 母集団分布2 | 母分散 | 標準化した推定量とその標本分布 |
---|---|---|---|---|
1 | 正規分布 | 正規分布 | 既知 | $\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \cdot \frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} \sim F(m-1,n-1)$ |
まとめ
区間推定の構造について説明し、区間推定の種類を一覧表に整理した。まだ抜け漏れがあるので、いずれ埋めたい。また、点推定で議論した推定方法・推定量の評価基準について、同じように区間推定でもあるものと考えていたが、同様の議論は見られなかった。この点についてもいずれ考察したい。
参考文献

- 作者:蓑谷 千凰彦
- 発売日: 2009/10/08
- メディア: 単行本
参考記事
推測について書いた記事も参考にしてください。 note.nekolabs.net